ЛАБОРАТОРНА РОБОТА  №8.

 

ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ ТІЛ І ПЕРЕВІРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНУ ДИНАМІКИ ОБЕРТОВОГО РУХУ ЗА ДОПОМОГОЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА.

 

Мета роботи: Вивчення законів обертального руху твердого тіла.

Прилади і матеріали:  1. Маятник Обербека.

                  2. Масштабна лінійка.

                  3. Секундомір.

                  4. Вантаж масою 100-200 г.

                  5. Штангенциркуль.

                 6. Комп'ютер і обладнання для сполучення.

 

Теоретичні відомості

 

Обертальним називається рух, при якім усі точки тіла описують окружності, центри яких лежать на одній прямій, називаною віссю обертання.

У динаміку обертального руху твердого тіла поняття “сила” і “маса” заміняються поняттями “момент сили” і “момент інерції”. При обертанні твердого тіла навколо деякої осі ефект дії сили залежить не тільки від величини сили, але й від відстані точки прикладання сили до осі обертання. Тому замість сили вводиться момент сили.

Основний закон динаміки обертального руху твердого тіла:

                                                         (1)

де   - момент інерції тіла;  - кутове прискорення;  - момент сили.

Модуль моменту сил

                                                      (2)

де       - модуль рівнодіючої сил, що діють на тіло;

          - плече сили, тобто відстань від осі обертання до лінії дії сили.

Момент інерції точки щодо осі обертання дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані до осі обертання:

                                                      (3)

Тверде тіло можна представити як систему матеріальних точок. Момент інерції  тіла або системи матеріальних точок  відносно осі обертання дорівнює сумі моментів інерції окремих точок, що становлять дане тіло або систему:

                                                  (4)

 

Момент інерції тіл правильної геометричної форми відносно осі, що проходить через центр мас, залежить від форми тіла й розташування осі.

Для  обруча, кільця й тонкостінного циліндра момент інерції відносно осі, перпендикулярної площини обруча, кільця, циліндра й проходячої через їхню середину рівний:

                                                      (5)

Для диска, суцільного циліндра момент інерції щодо осі, перпендикулярної площини диска, циліндра й проходячої через їхню середину рівний:

                                                   (6)

 

Для кулі, щодо осі проходячої через середину кулі

                                                   (7)

Для сфери, щодо осі проходячої через середину сфери

                                                   (8)

Для стрижня, щодо осі перпендикулярної стрижню й проходячої через його середину

                                                  (9)

де  - довжина стрижня.

 

Якщо тіло має довільну форму і його не можна розбити на окремі частини, що мають правильну геометричну форму, момент інерції можна визначити дослідним шляхом. Для цієї мети може бути використана спеціальна установка, яка називається маятником Обербека.


Опис установки й методу

Рис. 1

   Маятник Обербека являє собою хрестовину (маховик), що складається із чотирьох стрижнів 1, прикріплених до втулки 3, на вісь 2 якої закріплено шків 5. На стрижні закріплюються  вантажі 6 однакової маси.   На шків намотана нитка, до кінця якої прикріплений вантаж масою m. Пройдений шлях і час падіння вантажу визначають за допомогою лінійки 4 і секундоміра.

 Сила натягу нитки Fн, створювана падаючим вантажем, приводить  маятник в обертовий рух, повідомляючи йому кутове прискорення β.  Тому що вісь маятника встановлена на шарикопідшипниках, то сила натягу нитки значно більше тертя Fн > Fтр. Тому силою тертя можна зневажити.

Якщо намотати нитку на шків, надати маховик самому собі, то під дією вантажу нитка, розмотуючись, приводить маховик у рівноприскорене обертання з кутовим прискоренням . Вимірюючи секундоміром час падіння вантажу t з висоти h, можна визначити прискорення падіння а, користуючись рівнянням шляху рівноприскореного руху без початкової швидкості

                                                       (10)

Якщо нитка нерозтяжна й при падінні вантажу змотується зі шківа без ковзання, то прискорення точок, що лежать на поверхні шківа, дорівнює прискоренню падіння гирі m. Тоді, вимірявши радіус шківа R і використавши зв'язок між лінійним і кутовим прискоренням, можна визначити кутове прискорення:

                                                (11)

Обертаючий момент створюється силою натягу нитки Т, яка прикладена по дотичній до шківа. Плечем сили Т є радіус R шківа. Отже,

                                                      (12)

Силу натягу визначимо із другого закону Ньютона, записаного для падаючого вантажу:

                                                  (13)

Проекція (13) на вісь У:

                                                 (14)

або

                           (14’)

Підставимо отримане вираження у формулу (12) і знайдемо розрахункове вираження для моменту сили

                             (15)

Виразимо момент інерції з формули (1) і підставимо М и  з формул (15) і (11), відповідно:

                     (16)

Формулу (16) можна одержати, використовуючи закон збереження енергії.

Якщо до шнура підвісити гирю масою m, і закрутити шків так, щоб гиря піднялася на висоту, то гиря й уся система придбають потенційну енергію:

,                                                   (17)

де m – маса гирі, g – прискорення вільного падіння,  – висота гирі над підлогою.

Якщо відпустити гирю, то вона почне падати, розкручуючи шнур і обертаючи маховик.

Потенційна енергія гирі буде перетворюватися в кінетичну енергію падаючої гирі й маховика, що обертається

.                                          (18)

Отже, зневажаючи тертям, за законом збереження енергії можна записати:

                                          (19)

де       - швидкість падіння гирі в момент приземлення,

                   *- кутова швидкість обертання системи в той же момент,

              *- момент інерції маятника Обербека.

Уважаючи рух гирі рівноприскореним, можна написати:

,                                                  (20)

де а – прискорення падіння гирі: t – час падіння.

Отже, визначивши  й підставивши його значення у формулу швидкості, одержимо .

Лінійна швидкість обертання точки на зовнішній поверхні шківа дорівнює швидкості падіння гирі. Зв'язок між лінійної й кутовий швидкостями обертання:

,                                                (21)

де R – радіус шківа й або . Підставляємо значення  й  у формулу (19):

.                                 (22)

Звідси одержуємо:

                                                 (23)

 

Порядок виконання роботи

1. Закріпите циліндри у підстави хрестовини. Виміряйте відстань L1 від осі до центру циліндрів з точністю .

2. Зняти гирю й зважити на техніко-хімічних вагах з точністю до 0,1 г.

3. Штангенциркулем виміряти діаметр шківа.

4. Повісити гирю на шнур. Виміряти метровою лінійкою або рулеткою з точністю до 1 см висоту підняття гирі від підлоги до нижньої поверхні гирі. Ці дані записати у таблицю 1.

5. Звільнити махове колесо від  гальма. У цей момент включити секундомір. Гиря почне падати, розкручуючи шків і махове колесо. У момент удару гирі про підлогу виключити секундомір. Час падіння записати у таблицю 1.

6. Закручуючи махове колесо, підняти гирю на колишню висоту й повторити досвід, як сказано в пунктах 4-м і 5-м ще два рази.

Середнє арифметичне значення часу із цих вимірів увійде в розрахункову формулу (23).

7. Повторити досвід, закріпивши циліндри маятника на кінцях хрестовини, виміряйте L2 і середній час, згідно п.5.і зробити ті ж розрахунки.

Підрахувати момент інерції маятника по формулі (23).

Середнє арифметичне значення моменту інерції із усіх вимірів приймається за значення моменту інерції маятника Обербека.

8. Результати занесіть у відповідні стовпчики таблиці 1

9. Зніміть циліндри маятника із хрестовини й виміряйте, згідно п. 5, момент інерції однієї хрестовини . Результати занесіть у таблицю 2.

10. Момент інерції маятника Обербека може бути також обчислений як сума моментів інерції хрестовини, розміщених на ній вантажів і шківа. Через те, що радіус шківа багато менше відстаней вантажів від осі обертання його моментом інерції можна зневажити. Позначивши довжини стрижнів хрестовини через L0, маси стрижнів хрестовини - m0, маси вантажів, надягнутих на стрижні – m1 і відстань вантажів від осі – L1, одержимо

 

                                          (24)         

Звіт про виконану роботові

 - момент інерції маятника,

- перевірочна формула моменту інерції,

 - моменту сили, що діє на маятник,

          - кутове прискорення.

          L1 - відстань від осі до центру циліндрів,  [L1] = м,

            h - висота підняття гирі, [h] = м,

R – радіус шківа, [R] = м,

          t1, t2, t3, tсер  час падіння гирі, [t] = с,

Iмомент інерції маятника[I] =,

Mмоменту сили, [M] =Н? м,

- кутове прискорення, .

 

Таблиця 1

 

I

II

L1

 

 

m

 

 

R

 

 

h

 

 

t1

 

 

t2

 

 

t3

 

 

tср

 

 

М

 

 

 

 

m0

L0

e

 

 

Таблиця 2

L0

 

m0

 

R

 

h

 

t1

 

t2

 

t3

 

tср

 

I0

 

 

Контрольні питання

Обчислите момент інерції обруча маси m щодо осі О'О’, що перебуває на відстані 2R від осі ОО, що проходить через центр ваги обруча.